Question

已知函数．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；
（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有．

Answer

（1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范围．
（2）将a=1代入函数f（x）的解析式，判断其单调性进而得到最大值和最小值．
（3）先判断函数f（x）的单调性，令代入函数f（x）根据单调性得到不等式，令n=1，2，…代入可证．
【解析】
（1）∵
∴
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数
∴对x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即对x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1
（2）当a=1时，，
∴当时，f′（x）＜0，故f（x）在上单调递减；
当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上单调递增，
∴f（x）在区间上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（1）=0
又
∵e3＞16
∴
∴f（x）在区间上的最大值
综上可知，函数f（x）在上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）当a=1时，，，
故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴，即
∴
∴
∴
即对大于1的任意正整数n，都有