Question

已知函数，f（x）=，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（I）求证数列{}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1，求S_n．

Answer

（I）直接利用an+1=f（an）得到．再对其取倒数整理即可证数列{}是等差数列；进而求出数列{an}的通项公式；
（II）利用（I）的结论以及所问问题的形式，直接利用裂项相消求和法即可求Sn．
【解析】
（I）由条件得，．
∴⇒=3．
∴数列{}是首项为=1，公差d=3的等差数列．
∴=1+（n-1）×3=3n-2．
故an=．
（II）∵anan+1=（）．
∴Sn═a1a2+a2a3+..anan+1
=[（1-）+（）+…+（）]
=（1-）=．