Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）写出a₂、a₃的值（只写结果）并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由题设知a2=6，a3=12，an-an-1=2n，an-1-an-2=2（n-1），…，a3-a2=2×3，a2-a1=2×2，所以an-a1=2[n+（n-1）+…+3+2]，由此可知数列{an}的通项公式为an=n（n+1）．
（2）由题设条件可推出=，令，则，当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故f（x）min=f（1）=3，，
要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，则须使，即t2-2mt＞0，对∀m∈[-1，1]恒成立，由此可知实数t的取值范围．
【解析】
（1）∵a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）∴a2=6，a3=12（2分）
当n≥2时，an-an-1=2n，an-1-an-2=2（n-1），…，a3-a2=2×3，a2-a1=2×2，
∴an-a1=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴（5分）
当n=1时，a1=1×（1+1）=2也满足上式，
∴数列{an}的通项公式为an=n（n+1）（6分）
（2）==（8分）
令，则，当x≥1时，f'（x）＞0恒成立
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）min=f（1）=3
即当n=1时，（11分）
要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，
则须使，
即t2-2mt＞0，
对∀m∈[-1，1]恒成立，
∴，
∴实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）（14分）