Question

设函数f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），若g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数
（1）求b，c的值；
（2）求g（x）的单调区间．

Answer

（1）根据g（x）=f（x）-f'（x）是奇函数，且f'（x）=3x2+2bx+c能够求出b与c的值．
（2）对g（x）进行求导，g'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，g'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．
【解析】
（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，
∴f'（x）=3x2+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x3+bx2+cx-（3x2+2bx+c）=x3+（b-3）x2+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x3-6x，从而g'（x）=3x2-6，
当g'（x）＞0时，x＜-或x＞，
当g'（x）＜0时，-＜x＜，
由此可知，（-∞，-）和（，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-，）是函数g（x）的单调递减区间；