Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，离心率为，以线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π，设直线l过椭圆的右焦点F₂（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围；
（3）求△ABF₁面积的取值范围．

Answer

（1）根据离心率为，以线段F1 F2为直径的圆的面积为π，可求得a=，c=1，从而b2=1，故可求椭圆方程；
（2）设出直线l的方程代入椭圆方程，从而求出线段AB的垂直平分线方程，令y=0，可得m的函数关系式，进而可求m的取值范围；
（3）利用韦达定理，表示出S△ABF1=×|y1-y2|，即可求得△ABF1面积的取值范围．
【解析】
（1）由离心率为得：=①
又由线段F1 F2为直径的圆的面积为π得：πc2=π，c2=1       ②
由①，②解得a=，c=1，∴b2=1，
∴椭圆方程为
（2）由题意，F2（1，0），设l的方程为：y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程
整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x，y），则
x=，y=k（x-1）=-
∴线段AB的垂直平分线方程为y-y=-（x-x）
令y=0，得m=x+ky==
由于＞0即2+＞2，
∴0＜m＜；
（3）由（2）知，x1+x2=，x1x2=
∴|x1-x2|=
∴|y1-y2|=
∴S△ABF1=×|y1-y2|=
设2k2+1=t，则t＞1，∴S△ABF1=
∵t＞1，∴0＜＜1，∴