Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer

（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为，得出a2=4b2，再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b2=5，a2=20，从而得出椭圆的方程；
（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△＞0，解得-5＜m＜5；
（III）设出A（x1，y1），B（x2，y2），对（II）的方程利用根与系数的关系得：．再计算出直线MA的斜率k1=，MB的斜率为k2=，将式子K1+K2通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为，
∵椭圆的离心率为，
∴a2=4b2，
又∵M（4，1），
∴，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为．…（4分）
（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得
5x2+8mx+4m2-20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B
∴△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，解得-5＜m＜5．…（7分）
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得：．

上式的分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）
=
所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…（12分）