Question

如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）设CD的中点为H，求证：平面EFH∥平面PBC；
（3）求AC与平面PCD所成的角的正弦值．

Answer

（1）取PC中点M，连接FM，EM，根据线面平行的判定定理只需证明AF∥EM；
（2）根据面面平行的判定定理只需证明EH∥平面PBC，FH∥平面PBC，进而转化为证明EH∥BC，FH∥PC即可；
（3）先证明AF⊥平面PCD，连接FC，则∠ACF即为AC与平面PCD所成的角，在RT△ACF中，可求∠ACF的正弦值．
【解析】
（1）取PC中点M，连接FM，EM，
∵F、M分别为PD、PC的中点，∴FM∥DC，FM=DC，
又E为AB的中点，∴AE∥DC，AE=DC，
∴AE∥FM，AE=FM，∴四边形AFME为平行四边形，
∴AF∥ME，又AF⊄平面PEC，ME⊂平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（2）∵H为CD的中点，∴EH∥BC，又EH⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EH∥平面PBC．
∵F、H分别为PD、CD的中点，∴FH∥PC，又FH⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴FH∥平面PBC．
又FH∩EH=H，FH⊂平面EFH，EH⊂平面EFH，
∴平面EFH∥平面PBC．
（3）∵PA=AD=1，F为PD的中点，∴AF⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，又PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
连接FC，则∠ACF即为AC与平面PCD所成的角．
在等腰RT△PAD中，AF=，在矩形ABCD中，AC==，
∴在RT△AFC中，sin∠ACF===．
∴AC与平面PCD所成的角的正弦值为．