Question

如图正方形ABCD和四边形ADEF所在的平面垂直，FA⊥AD，DE∥FA，且，G是FC的中点．
（1）求证：EG⊥平面ACF；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer

（1）取AF中点H，连接GH，EH，由正方形ABCD和四边形ADEF所在的平面垂直，FA⊥AD，DE∥FA，且，G是FC的中点，得到EH=AH=FH=CD=DE=1，EH⊥AF，ED⊥CD，GH∥AC，CE=EF=AC=，GH=，故EG⊥CF，再由EG2+GH2=EH2，知EG⊥GH，由此能够证明EG⊥平面ACF．
（2）连接FD，则多面体ABCDEF的体积：VABCDEF=VF-CDE+VF-ABCD，由VF-CDE=，VF-ABCD=，能求出多面体ABCDEF的体积．
【解析】
（1）取AF中点H，连接GH，EH，
∵正方形ABCD和四边形ADEF所在的平面垂直，
FA⊥AD，DE∥FA，且，G是FC的中点，
∴EH=AH=FH=CD=DE=1，EH⊥AF，ED⊥CD，GH∥AC，
∴CE=EF=AC==，GH==，
∴EG⊥CF，
∵FC===，
∴EG===，
∵EH=1，∴EG2+GH2=EH2，
∴EG⊥GH，
又∵CF∩GH=G，
∴EG⊥平面ACF．
（2）连接FD，则多面体ABCDEF的体积：
VABCDEF=VF-CDE+VF-ABCD
=+
=+
=
=．