Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-2x-3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上．若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，
（1）求圆C的方程；
（2）若|AB|=2，求a的值；
（3）若 OA⊥OB，（O为原点），求a的值．

Answer

（1）曲线y=x2-2x-3与y轴的交点为（0，3），与x轴的交点为（-1，0），（3，0），设圆C的圆心为（1，t），解得t=-1．由此能求出圆C的方程．
（2）由|AB|=2，知圆心C到直线x-y+a=0的距离为，由点到直线的距离公式能求出a的值．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得2x2+2ax+a2+2a-3=0．由OA⊥OB，能求出a的值．
【解析】
（1）曲线y=x2-2x-3与y轴的交点为（0，3），
与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
设圆C的圆心为（1，t），
则有12+（t+3）2=（1+1）2+t2，解得t=-1．
则圆C的半径为，
∴圆C的方程为（x-1）2+（y+1）2=5．
（2）∵|AB|=2，
∴圆心C到直线x-y+a=0的距离为，
∴，解得a=0，或a=-4．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，
消去y，得2x2+2ax+a2+2a-3=0．
∵圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，
∴△=24-16a-4a2＞0，
∴x1+x2=-a，x1x2=．①
由于OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，
∵y1=x1+a，y2=x2+a，
∴2x1x2+a（x1+x2）+a2=0．②
由①②，得a=1，或a=-3．满足△＞0，
故a=1，或a=-3．