Question

给出下列三个命题
（1）若tanA⋅tanB＞1，则△ABC一定是钝角三角形；
（2）若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
（3）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC一定是等边三角形．
以上正确命题的个数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

通过举反例可得（1）不正确，利用和差化积公式可得△ABC一定是等腰三角形，不能推出△ABC一定是直角三角形，
故（2）不正确．对于（3），由题意可得cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，可得A=B=C=，故△ABC一定是等边三角形，得到（3）正确．
【解析】
（1）不正确，如等边△ABC中，A=B=，尽管满足tanA⋅tanB＞1，但△ABC不是钝角三角形．
（2）若sin2A+sin2B=sin2C，则有2sin（A+B）cos（A-B）=2sin（A+B），
 再由-π＜A-B＜π 可得，cos（A-B）=1，A-B=0．
故△ABC一定是等腰三角形，不能推出△ABC一定是直角三角形，故（2）不正确．
（3）△ABC中，若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
则由-1≤cos（A-B）≤1，-1≤cos（B-C）≤1，-1≤cos（C-A）≤1 可得，
cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，
∴A-B=B-C=C-A=0，∴A=B=C=，
故△ABC一定是等边三角形，故（3）正确．
故选A．