Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到P点，且P在平面ABD上的射影O恰好落在AB上．
（1）求证：PB⊥AD；
（2）求证：平面PAD⊥平面PBD；
（3）求直线AB与平面PBD所成角的正弦值．

Answer

（1）由DA⊂平面ABD，P在平面ABD上的射影O恰好落在AB上，知AB是BP在平面ABD内的射影，由三垂直线定理，能够证明PB⊥AD．
（2）由（1）知，PB⊥AD，由题设知BP⊥DP，所以BP⊥平面PAD，由此能够证明平面PAD⊥平面PBD．
（3）作AM⊥DP于M，连接BM，由题设条件推导出∠ABM是AB与平面BPD所成的角，由此能求出AB与平面BPD所成的角正弦值．
【解析】
（1）∵DA⊂平面ABD，P在平面ABD上的射影O恰好落在AB上，
∴AB是BP在平面ABD内的射影，…（2分）
∵DA⊥AB，
∴由三垂直线定理，知PB⊥AD．…（4分）
（2）由（1）知，PB⊥AD，
∵在矩形ABCD中，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到P点，
∴BP⊥DP，…（6分）
∵AD∩DP=D，∴BP⊥平面PAD，
∵BP⊂PBD，∴平面PAD⊥平面PBD．…（8分）
（3）作AM⊥DP于M，连接BM，
∵BP⊥面ADC’，
∴面ADP⊥面BDC’，
∵AM⊥DP，
∴AM⊥面BPD，
∴∠ABM是AB与平面BPD所成的角，…（10分）
在Rt△DAP中，AM•DP=AD•AP，
∴AM===，…（11分）
在Rt△ABM中sin∠ABM=，
所以，AB与平面BPD所成的角正弦值为．…（12分）