Question

设函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R），
（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求f（x）表达式；
（2）在（1）的条件下，g（x）=f（x）-16x（x∈[m，10]，其中常数m＞0），区间D为g（x）的值域，若D的长度为23-2m，求此时m的值．

Answer

（1）由f（-1）=0，知b=a=1，由f（x）≥0恒成立，知a＞0，且△=（a-1）2≤0，由此能求出f（x）．
（2）由题设知g（x）=x2-14x+1，23-2m=g（x）max-g（x）min，由此进行分类讨论，能求出m的值．
（本题12分）
【解析】
（1）∵f（-1）=0，∴b=a=1，
由f（x）≥0恒成立，知a＞0，且△=b2-4a=（a+1）2-4a=（a-1）2≤0，
∴a=1．
∴f（x）=x2+2x+1．（3分）
（2）∵g（x）=f（x）-16x（x∈[m，10]，其中常数m＞0），区间D为g（x）的值域，
D的长度为23-2m，
∴g（x）=x2-14x+1，23-2m=g（x）max-g（x）min，（5分）
①当m∈[7，10）时，23-2m=g（10）-g（t）=-m2+16m，得：m=7或9．（7分）
②当m∈[4，7）时，23-2m=g（10）-g（7），得m=7（舍）．（9分）
③当m∈（0，4）时，23-2m=g（m）-g（7），m2-12m+26=0，
解得：m=（舍）或m==6-．（11分）
综合得m=6-，或m=7，或m=9．（12分）