Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}为首项为1，公差为1的等差数列
（1）求a₁及a_n，b_n．
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）先利用an是Sn与2的等差中项把1代入即可求a1，利用Sn=2an-2，可得Sn-1=2an-1-2，两式作差即可求数列{an}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出an；对于数列{bn}，直接利用等差数列通项公式即可求出bn．
（2）先把所求结论代入求出数列{cn}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．
【解析】
（1）∵an是Sn与2的等差中项，
∴Sn=2an-2，∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2．
∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，
又∵Sn-Sn-1=an，n≥2，
∴an=2an-2an-1，
∵an≠0，
∴=2（n≥2），即数列{an}是等比数列，
∵a1=2，∴an=2n．
∵数列{bn}为首项为1，公差为1的等差数列，
∴bn=1+（n-1）=n．
（2）∵，bn=n，
∴cn=an•bn=n•2n．
∴数列{cn}的前n项和：
Tn=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n，①
2Tn=1×22+2×23+3×24…+（n-1）×2n+n×2n+1，②
①-②，得-Tn=2+22+23+24+…+2n-n×2n+1
=-n×2n+1
=2n+1-2-n×2n+1，
∴Tn=n×2n+1-2n+1+2．