Question

已知奇函数f（x）=2^x+a•2^-x，x∈（-1，1）
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性并进行证明；
（3）若函数f（x）满足f（1-m）+f（1-2m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用f（0）=0即可求得a的值．
（2）利用增函数的定义即可证明．
（3）利用奇函数的定义将f（1-m）+f（1-2m）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-2m）=f（2m-1），再由（2）单调性可得-1＜1-m＜2m-1＜1，解出即可．
【解析】
（1）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，1+a=0，∴a=-1．
（2）证明：由（1）可知，f（x）=．
任取-1＜x1＜x2＜1，则

所以，f（x）在（-1，1）上单调递增．
（3）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
由已知f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（1-m）+f（1-2m）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-2m）=f（2m-1），
又由（2）知f（x）在（-1，1）上单调递增，
∴．