Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间并比较f（x）与f（1）的大小关系；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）若n≥2，n∈N⁺，试猜想××与的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（1）利用导数，可得函数的单调区间；
（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数得不等式组，从而可求m的范围；
（3）利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，可得0＜＜，从而可得结论．
【解析】
（1）当a=-1时，f（x）=-lnx+x-3，f′（x）=（x＞0）----------（1分）
令f′（x）＞0，解得x∈[1，+∞）；令f′（x）＜0，解得x∈（0，1]
所以，f（x）的单调增区间为[1，+∞）；减区间为（0，1]-----------------（3分）
所以f（x）min=f（1），所以f（x）≥f（1）；-----------------------（4分）
（2）∵f′（x）=
∴f′（2）=-得a=-2，∴f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x3+（+2）x2-2x，
∴g′（x）=3x2+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴（8分）
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：∴-＜m＜-9（10分）
（3）猜想：××＜（n≥2，n∈N*）-------------（11分）
证明如下：由（1）可知
当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n-1，
∴0＜＜-----------（13分）
∴××＜=----------（14分）