Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）有如下定义：
定义（1）：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义（2）：设x为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x+x）+f（x-x）=2f（x）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x，f（x））对称．
己知f（x）=x³-3x²+ax+2在x=-1处取得极大值．请回答下列问题：
（1）当x∈[0，4]时，求f（x）的最小值和最大值；
（2）求函数f（x）的“拐点”A的坐标，并检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称．

Answer

（1）求导函数，利用f（x）=x3-3x2+ax+2在x=-1处取得极大值，求出a的值，确定函数的单调性，从而可求f（x）的最小值和最大值；
（2）利用函数f（x）的“拐点”的定义，可求A的坐标，利用定义（2），即可求得结论．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-6x+a
∵f（x）=x3-3x2+ax+2在x=-1处取得极大值
∴f′（-1）=0
∴a=-9    …（2分）
∴f（x）=x3-3x2-9x+2
∴f′（x）=3（x+1）（x-3）=0知x=-1或x=3…（3分）
当x变化时，f（x）变化如下：

x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 增 7 减 -25 增

又f（0）=2，f（4）=-18
∴f（x）min=-25，f（x）max=2      …（6分）
（2）由（1）知f′（x）=3x2-6x-9，∴f″（x）=6x-6    …（8分）
由f″（x）=0，即6x-6=0，∴x=1，
又f（1）=-9，
∴f（x）=x3-3x2-9x+2的“拐点”A的坐标是（1，-9）…（10分）
∵f（1+x）+f（1-x）=-18，2f（1）=-18
∴由定义（2）知：f（x）=x3-3x2-9x+2的图象关于点A（1，-9）对称…（12分）