Question

在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，=（a，cosB），=（b，cosA）且，，
（1）判断△ABC的形状；
（2）求sinA+sinB的取值范围；
（3）若abx=ac+bc，x∈R⁺试确定log₂x的取值范围．

Answer

（1）由两个向量共线的性质可得acosA=bcosB，再由正弦定理求得sin2A=sin2B，又，故2A+2B=π，即 A+B=，则 C=，由此可得△ABC的形状．
（2）由于 sinA+sinB=sin（A+），0＜A＜，可得 ＜A+＜，从而求得sin（A+）的范围．
（3）由abx=ac+bc，得x=，再由正弦定理可得 x==，设 sinA+sinB=t∈（1，]，可得 x==，利用基本不等式求得x的范围，即可求得log2x的取值范围．
【解析】
（1）∵=（a，cosB），=（b，cosA），且，∴acosA=bcosB．-----（1分）
由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．-----（2分）
又，所以，2A+2B=π，即 A+B=，则 C=，--------（3分）
∴△ABC是直角三角形．---------（4分）
（2）sinA+sinB=sinA+sin（-A）=sinA+cosA=sin（A+）．---（6分）
∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴×＜sin（A+）≤，故sinA+sinB的取值范围是（1，]．-------------（8分）
（3）若abx=ac+bc，x∈R+，则 x=，
由正弦定理，得 x==，---------（9分）
设 sinA+sinB=t∈（1，]，则 t2=1+2sinAcosA，所以sinAcosA=，----（10分）
即 x===≥=2，∴log2x≥==，
所以log2x的取值范围为[，+∞）．-----------（12分）