Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是侧棱AA₁上的动点．
（1）当AA₁=AB=AC时，求证：A₁C⊥平面ABC₁；
（2）试求三棱锥P-BCC₁的体积V取得最大值时的t值．

Answer

（1）先证明AC1⊥A1C，再证明AB⊥平面AA1C1C，可得AB⊥AC1，利用线面垂直的判定定理，可得结论；
（2）确定点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离，表示出三棱锥P-BCC1的体积，利用导数方法求最值．
（1）证明：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB
又∵AA1=AC，∴四边形AA1C1C是正方形，∴AC1⊥A1C．
∵AB⊥AC，AB⊥AA1，AA1，AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC=A，
∴AB⊥平面AA1C1C．
又∵AC1⊂平面AA1C1C，
∴AB⊥AC1，
∵AB，AC1⊂平面ABC1，AB∩AC1=A
∴A1C⊥平面ABC1．---（5分）
（2）【解析】
∵AA1∥平面BB1C1C，∴点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离
∴，----（9分）
V'=-t（t-1），令V'=0，得t=0（舍去）或t=1，列表，得

t （0，1） 1
V' + -
V 递增 极大值 递减

∴当t=1时，．---（12分）