Question

数列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），则称a_k为{a_n}的一个峰值．若a_n=tlnn-n，且{a_n}不存在峰值，则实数t的取值范围是    ．

Answer

利用导数研究函数的单调性即可得出．
【解析】
令f（x）=tlnx-x（x≥1），则=，
①当x≥t且x≥1时，f′（x）≤0，∴函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，
对于数列an=tlnn-n，{an}不存在峰值，t应满足即，解得；
②不存在t满足函数f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数；
③当an=an+1时，数列{an}是一个常数列，此时t满足tlnn-n=tln（n+1）-（n+1），解得，n∈N*且n≥2．
故实数t的取值范围是{}．
故答案为{}．