Question

设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α，β，且α＜β．定义函数
（1）当α=-1，β=1时，判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（2）求αf（α）+βf（β）的值．

Answer

（1）根据韦达定理，由α=-1，β=1，可求出m值，进而求出函数f（x）的解析式，根据函数单调性的定义可得答案．
（2）由α，β是方程x2-mx-1=0的两个实根，根据韦达定理可得，代入分别求出f（α），f（β）的值，进而可求αf（α）+βf（β）的值．
【解析】
（1）∵α=-1，β=1，
由韦达定理可得：m=α+β=0
∴------（2分）
设x1＜x2，

∵（x2-x1）＞0，
当x2，x1＞1时，（1-x1x2）＜0，此时f（x2）-f（x1）＜0，函数为减函数，
当-1＜x2，x1＜1时，（1-x1x2）＞0，此时，函数为增函数，
当x2，x1＜-1时，（1-x1x2）＜0，此时，函数为减函数，（9分）
（2）∵α，β是方程x2-mx-1=0的两个实根，
∴．
∴===，
同理f（β）=，
∴αf（α）+βf（β）=α•+β•=1+1=2．（13分）