Question

已知函数=f（2^x）
（1）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．

Answer

（1）设x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，通过作差比较g（x1），g（x2）的大小关系，根据减函数定义只需说明g（x1）＞g（x2）即可；
（2）根据第（1）问结论说明g（x）在（-∞，-1]上的单调性，根据单调性即可求得其最小值．
【解析】
（1），
∵2x-1≠0⇒x≠0，∴函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}，
设x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，
则，
∵x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，
∴且，
根据函数单调性的定义知：函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
（2）由（1）知函数g（x）在（-∞，0）上为减函数，
∴函数g（x）在（-∞，-1]上为减函数，
∴当x=-1时，．