Question

已知x=4是函数f（x）=alnx+x²-12x+11的一个极值点．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer

（1）求导函数，利用x=4是函数f（x）=alnx+x2-12x+11的一个极值点，可得f′（4）=0，从而可求a的值；
（2）利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（3）确定函数的极值，从而可得不等式，即可求b的取值范围．
【解析】
（1）求导函数可得f′（x）=+2x-12，
∵x=4是函数f（x）=alnx+x2-12x+11的一个极值点
∴f′（4）=+8-12=0，∴a=16 …3分
（2）由（1）知，f（x）=16lnx+x2-12x+11，x∈（0，+∞）
f′（x）=…5分
当x∈（0，2）∪（4，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，4）时，f′（x）＜0…7分
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（4，+∞），f（x）的单凋减区间是（2，4）…8分
（3）由（2）知，f（x）的极大值为f（2）=16ln2-9，极小值为f（4）=32ln2-21
因此f（16）=16ln16+162-12×16+11＞16ln2-9=f（2），f（e-2）＜-32+11=-21＜f（4）
所以在f（x）的三个单调区间（0，2），（2，4），（4，+∞）内，直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，
当且仅当f（4）＜b＜f（2）成立…13分
因此，b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）． …14分．