Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长是1的正方形，侧棱PA与底面成45°的角，M，N，分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．
（3）直线PC与面PBD所成角的余弦值．

Answer

（1）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行，根据三角形的中位线可知PC∥EO，满足定理条件；
（2）根据四棱锥P-ABCD的底面积为1，高为PD，即可求出四棱锥P-ABCD的体积；
（3）连接AC，BD，相交于点O，则可得AC⊥面PBD，故∠CPO为直线PC与面PBD所成角，由此可得结论．
（1）证明：设PD的中点为E，连NE，AE

根据三角形的中位线可知NE∥CD，且NE=CD，
∵AM∥CD，且AM=CD，
∴NE∥AM，且NE=AM，∴MN∥AE，
又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）【解析】
四棱锥P-ABCD的底面积为1，
因为PD⊥平面ABCD，侧棱PA与底面成45°的角所以四棱锥P-ABCD的高为1，
所以四棱锥P-ABCD的体积为：；
（3）【解析】
连接AC，BD，相交于点O，连接PO，则AC⊥BD
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC
又∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PBD
∴∠CPO为直线PC与面PBD所成角
∵PC=，CO=
∴PO=
∴直线PC与面PBD所成角的余弦值为