Question

已知
（1）用单调性定义证明：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（2）函数y=f（x）在区间[1，3]上的值域为A，求函数y=4^x-2^x+1（x∈A）的最大值和最小值．

Answer

（1）利用定义证明单调性步骤为：①取值；②作差；③变形；④判号；⑤结论．
（2）利用f（x）的单调性求出A，y=4x-2x+1=（2x）2-2•2x，令t=2x，则y=t2-2t，利用二次函数性质可求其最值．
（1）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则，
∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，∴，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）【解析】
由（1）y=f（x）在[1，3]上是增函数，则在区间[1，3]上
当x=1时，y=f（x）有最小值-3，当x=3时，y=f（x）有最大值1，故A=[-3，1]．
y=4x-2x+1=（2x）2-2•2x
令t=2x，由A=[-3，1]，得，
则 ，
当t=1，即x=0时，y有最小值-1；
当t=2，即x=1时，y有最大值0．