Question

在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：（几何证明选讲）
如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O，C，P，D四点共圆．
B．选修4-2：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e₁=[]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2sin（），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

Answer

A．因为PA，PB为圆O的两条切线，所以OP垂直平分弦AB，在Rt△OAP中，OM•MP=AM2，圆O中，AM•BM=CM•DM，由此能够证明O，C，P，D四点共圆．
B．设M=，则=3=，=，由此能求出M．
C．将ρ=2sin（），分别化为普通方程：x2+y2+2x-2y=0，3x+4y+1=0，由此能求出弦长．
D．由柯西不等式知：（x+y+z）2≤[（）2+（）2+z2]•[（）2+（）2+12]，故，由此能求出2x2+3y2+z2的最小值．
A．选修4-1：（几何证明选讲）
证明：因为PA，PB为圆O的两条切线，
所以OP垂直平分弦AB，
在Rt△OAP中，OM•MP=AM2，…（4分）
在圆O中，AM•BM=CM•DM，
所以OM•MP=CM•DM，…（8分）
又弦CD不过圆心O，所以O，C，P，D四点共圆．…（10分）
B．选修4-2：（矩阵与变换）
设M=，则=3=，
故．…（4分）
=，故．…（7分）
联立以上两方程组解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
故M=． …（10分）
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
【解析】
将方程ρ=2sin（），分别化为普通方程：
x2+y2+2x-2y=0，3x+4y+1=0，…（6分）
由曲线C的圆心为C（-1，1），半径为，
所以圆心C到直线l的距离为，
故所求弦长为=．…（10分）
D．选修4-5（不等式选讲）
【解析】
由柯西不等式可知：
（x+y+z）2≤[（）2+（）2+z2]•[（）2+（）2+12]，…（5分）
故，
当且仅当，
即：x=，y=，z=时，
2x2+3y2+z2取得最小值为．…（10分）