Question

已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）e^-x．
（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明：β-α＜6．

Answer

（1）对函数f（x）求导，里用导函数求解单调区间；
（2）利用导函数的性质即函数的单调区间加以证明．
【解析】
（Ⅰ）当a=b=-3时，f（x）=（x3+3x2-3x-3）e-x，
故f′（x）=-（x3+3x2-3x-3）e-x+（3x2+6x-3）e-x=-e-x（x-3-9x）=-x（x-3）（x+3）e-x
当x＜-3或0＜x＜3时，f′（x）＞0；
当-3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0．
从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调增加，在（-3，0），（3，+∞）单调减少；
（Ⅱ）f′（x）=-（x3+3x2+ax+b）e-x+（3x2+6x+a）e-x=-e-x[x3+（a-6）x+b-a]．
由条件得：f′（2）=0，即23+2（a-6）+b-a=0，故b=4-a，
从而f′（x）=-e-x[x3+（a-6）x+4-2a]．
因为f′（α）=f′（β）=0，
所以x3+（a-6）x+4-2a=（x-2）（x-α）（x-β）=（x-2）（x2-（α+β）x+αβ）．
将右边展开，与左边比较系数得，α+β=-2，αβ=a-2．
故．，
又（β-2）（α-2）＜0，即αβ-2（α+β）+4＜0．由此可得a＜-6．
于是β-α＞6．