Question

已知函数，g（x）=alnx+a．
（1）a=1时，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．

Answer

（1）确定函数，求导函数，利用F'（x）≥0，确定函数的单调增区间；F'（x）≤0，确定函数的单调减区间；
（2）构造F（x）=f（x）-g（x）（x＞1），若x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数y=g（x）的图象的上方，即F（x）＞0恒成立，求出导函数．分类讨论，确定函数的最小值，从而可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）a=1时，，
则…（3分）
令F'（x）≥0有：x≤0（舍去）或x≥1；令F'（x）≤0有0≤x≤1…（5分）
故F（x）的单增区间为[1，+∞）；单减区间为（0，1]．…（6分）
（2）构造F（x）=f（x）-g（x）（x＞1），即
则．
①当a≤e时，ex-a＞0成立，则x＞1时，F'（x）＞0，即F（x）在（1，+∞）上单增，…（7分）
令F（1）=e-a-a≥0，∴，故…（8分）
②a＞e时，F'（x）=0有x=1或x=lna＞1
令F'（x）≥0有x≤1或x≥lna；令F'（x）≤0有1≤x≤lna…（9分）
即F（x）在（1，lna]上单减；在[lna，+∞）上单增…（10分）
故F（x）min=F（lna）=-aln（lna）-a＞0，∴，舍去…（11分）
综上所述，实数a的取值范围…（12分）