Question

国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（I）写出v关于w的函数关系式；
（II）若把一颗钻石切割成重量比为1：x（x≥1）的两颗钻石，价值损失的百分率为y，写出y关于x的函数关系式；
（III）试证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计）

Answer

（Ⅰ）先由题意可设价值与重量的关系式为：y=kx2，再根据3克拉的价值是54000美元求得k值，即可求得此钻石的价值与重量的函数关系式；
（II）先求按重量比为1：x切割后的价值，可得价值损失，利用价值损失的百分率=×100%，可得y关于x的函数关系式；
（III）利用基本不等式，可证结论．
（Ⅰ）【解析】
依题意设v=kw2，又当w=3时，v=54000，∴k=6000，故v=kw2=6000w2（w＞0）；
（II）【解析】
设这颗钻石的重量为a克拉，则按重量比为1：x切割后的价值为6000（）2+6000（）2，
价值损失为6000a2-[6000（）2+6000（）2]
∴价值损失的百分率为y={6000a2-[6000（）2+6000（）2]}÷6000a2×100%=
∴y=（x≥1）；
（III）证明：由（II）y==
∵x≥1，∴
∴≤，等号当且仅当x=1时成立，此时y有最大值．
故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．