Question

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（I）若A，B两点的纵会标分别为的值；
（II）已知点C是单位圆上的一点，且的夹角θ．

Answer

（I）根据三角函数的定义，求得sinα=，sinβ=．由α是锐角、β为钝角可得cosα、cosβ的值，利用两角和与差的余弦公式求得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα的值．
（II）由题意可得，设 的夹角为θ，0≤θ≤π，则有 =．求出 的值，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ，可得θ的值．
【解析】
（I）根据三角函数的定义，得sinα=，sinβ=．由α是锐角，所以，cosα=．
由β为钝角可得 cosβ=-．
所以，cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=（-）×+=．
（II）已知点C是单位圆上的一点，且 ，，
设 的夹角为θ，0≤θ≤π，则有 =．
展开化简可得 =-．
可得cosθ===-，从而可得 θ=．