Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求直线PF与平面PAC所成的角的正切值．

Answer

方法一：（1）利用线面垂直的性质与判定，证明AE⊥平面PDC即可；
（2）过点F作FH⊥AC于点H，连接PH，可得∠FPH为直线PF与平面PAC所成的角；
方法二：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明即可；
（2）证明BD⊥平面PAC，确定平面PAC的法向量=（-1，1，0），，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
（方法一）（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥DC
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC
因为AD∩PA=A，所以DC⊥平面PAD，
因为AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC，（3分）
又因为PA=AD，点E是棱PD的中点，所以AE⊥PD，
因为PD∩DC=D，所以AE⊥平面PDC，
因为PC⊂平面PDC，所以AE⊥PC．（7分）
（2）【解析】
过点F作FH⊥AC于点H，连接PH，由F是棱BC的中点，底面是正方形可得，
又由PA⊥底面ABCD得到PA⊥FH，
因为AD∩PA=A，所以FH⊥平面PAC，
所以∠FPH为直线PF与平面PAC所成的角，（10分）
设AD=1，得到FH=，
在RT△PAH中，，．（14分）
（方法二）（1）证明：以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
设PA=AD=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），（2分）
∵点E、F分别是棱PD、BC的中点，
∴，，，（4分）
∴，∴AE⊥PC．（6分）
（2）【解析】
由PA⊥底面ABCD得到PA⊥BD，AC⊥BD，
∵AD∩PA=A，∴BD⊥平面PAC
取平面PAC的法向量=（-1，1，0），（10分）设直线PF与平面PAC所成的角θ，则
∴，∴，（13分）
故．（14分）