Question

设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，证明：x∈（0，5）时，成立．

Answer

（Ⅰ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）a=1，f（x）=ln（x+1）+x，等价于ln（x+1）+＜0，求出函数的最值，即可求得结论．
（Ⅰ）【解析】
函数的定义域为（-1，+∞）
求导函数可得f′（x）=
当a≥0时，，函数单调递增，单调增区间为（-1，+∞）；
当a＜0时，，函数在（-1，-1-）内单调递增，单调增区间为（-1，-1-）
，函数在（-1-，+∞）内单调递减，单调减区间为（-1-，+∞）；
（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x，等价于ln（x+1）+＜0
令g（x）=ln（x+1）+，则g′（x）=
∵x∈（0，5），∴函数在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减
∴g（x）max=ln（+1）+＜0
∴x∈（0，5）时，成立．