Question

已知数列{a_n}，如果数列{b_n}满足，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“生成数列”
（1）若数列{a_n}的通项为a_n=n，写出数列{a_n}的“生成数列”{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}的通项为c_n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c_n}的“生成数列”{l_n}是否是等差数列，请说明理由．
（3）已知数列{d_n}的通项为，设数列{d_n}的“生成数列”{p_n}的前n项和为T_n，问是否存在自然数m满足满足（T_m-2012）（T_m-6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．

Answer

（1）根据“生成数列”的定义，数列{bn}满足，结合数列{an}的通项为an=n，递推可得结论；
（2）根据“生成数列”的定义，结合数列{cn}的通项为cn=2n+b，（其中b是常数），求出数列{cn}的“生成数列”{ln}，利用等差数列的定义判断后可得结论；
（3）根据“生成数列”的定义，结合数列{dn}的通项为，求出数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和为Tn，解不等式可得m的值．
【解析】
（1）∵数列{bn}满足，
数列{an}的通项为an=n，
∴3分
综合得：bn=2n-14分
（2）6分
当b=0时，ln=4n-2，由于ln+1-ln=4（常数）
所以此时数列{cn}的“生成数列”{ln}是等差数列            8分
当b≠0时，由于c1=2+b，c2=6+2b，c3=10+2b，9分
此时c1+c3≠2c2，
∴此时数列{cn}的“生成数列”{ln}不是等差数列．        10分
（3）11分
当n=1时，Tn=p1=312分
当n≥2时
=3+（3•2+3•22+…+3•2n-1）+（3+5+…+2n-1）
=3•2n+n2-4，14分
所以，15分
若（Tm-2012）（Tm-6260）≤0，则2012≤Tn≤626016分
由于{Tn}对于一切自然数是增函数，
T9=1613＜2012，T10=3168＞2013T11=6261＞6260
所以存在唯一的自然数m=10满足若（Tm-2012）（Tm-6260）≤0成立            18分．