Question

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”
（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x²+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．
（2）证明函数h（x）=x²+a²x+4（a是常数且a∈R）在（0，1]上是“弱增函数”．

Answer

（1）利用“弱增函数”的定义逐个判断即可；
（2）按“若增函数”的定义需证明两条：①证明h（x）在（0，1]上是增函数；②证明在（0，1]上是减函数．
【解析】
（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=在（1，2）上是减函数，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”，g（x）=x2+4x在（1，2）上是增函数，但在（1，2）上不是减函数，
所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．
（2）因为h（x）=x2+a2•x+4的对称轴为x=-≤0，开口向上，所以h（x）在（0，1]上是增函数．
下面证明函数F（x）=在（0，1]上是减函数．
设0＜x1＜x2≤1，
则，
∵0＜x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，
∴，即F（x1）＞F（x2）．
所以F（x）在（0，1]上单调递减，
所以h（x）在（0，1]上是“弱增函数”；