Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（1）令函数g（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围
（2）当x，y∈^N*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer

（1）先求出g（x）的解析式，设曲线C在x（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，建立等式，根据log2（x3+ax2+bx+1）＞0消去b得-2x02-ax-8＜0，使得2x2+ax+8＞0 在-4＜x＜-1有解，求出a的取值范围即可；
（2）令函数h（x）=，求出h（x）的导函数，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的导函数，根据p（x）导函数的正负，判断p（x）的增减性，进而得到p（x）小于0，且得到h（x）导函数的正负，得到h（x）的增减性，利用函数的增减性即可得证．
【解析】
（1）g（x）=F（1，log2（x3+ax2+bx+1））=x3+ax2+bx+1，
设曲线C在x（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，
又由题设知log2（x3+ax2+bx+1）＞0，g′（x）=3x2+2ax+b，3x2+2ax+b=-8  ①
∴存在实数b使得-4＜x＜-1       ②有解，
x3+ax2+bx＞0  ③
由①得b=-8-3x02-2ax，代入③得-2x02-ax-8＜0，
∴由   2x2+ax+8＞0 在-4＜x＜-1有解，
得2×（-4）2+a×（-4）+8＞0或2×（-1）2+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，
∴a＜10
（2）令 h（x）=，x≥1，由h′（x）=，
又令 p（x）=-ln（1+x），x＞0，
∴p′（x）=-=＜0，∴p（x）在[0，+∞）单调递减．
∴当x＞0时有p（x）＜p（0）=0，∴当x≥1时有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）单调递减，
∴1≤x＜y时，有＞，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）y＞（1+y）x，
∴当x，y∈N*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．