Question

已知a，b，c为互不相等的三个正数，函数f（x）可能满足如下性质：
①f（x-a）为奇函数；②f（x+a）为奇函数；③f（x-b）为偶函数；④f（x+b）为偶函数．
类比函数y=sinx的对称中心、对称轴与周期的关系，某同学得出了如下结论：
（1）若满足①②，则f（x）的一个周期为4a；（2）若满足①③，则f（x）的一个周期为4|a-b|；（3）若满足③④，则f（x）的一个周期为3|a-b|．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

根据函数奇偶性的定义，我们可得当f（x-a）为奇函数时，f（-x-a）=-f（x-a）；当f（x+a）为奇函数时，f（-x+a）=-f（x+a）；当f（x-b）为偶函数时，f（-x-b）=f（x-b）；当f（x+b）为偶函数时，f（-x+b）=f（x+b）．进而逐一判断3个结论是否正确，可得答案．
【解析】
若f（x-a）为奇函数，且f（x+a）为奇函数，
∴f（x+4a）=f（x+3a+a）=-f（-x-3a+a）=-f（-x-2a）=-f（-x-a-a）=f（x+a-a）=f（x）
故f（x）满足①②时，f（x）的一个周期为4a；
若f（x-a）为奇函数，f（x-b）为偶函数，不妨令a＞b
则f（x+4a-4b）=f（x+4a-3b-b）=f（-x-4a+3b）=f（-x-3a+3b-a）=-f（x+3a-3b）=f（x+2a-2b）=-f（x+a-b）=f（x）
故f（x）满足①③时，则f（x）的一个周期为4|a-b|；
若f（x-b）为偶函数，f（x+b）为偶函数，则f（x）的一个周期为4b，3|a-b|不一定是函数的周期
故选C