Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1及x=2处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+t=0在区间上恰有两个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer

（1）根据函数f（x）在x=-1，x=2处取得极值的必要条件是，再分别验证f′（x）在x=-1、x=2的附近异号即可．
（2）方程在区间上恰有两个不相等的实数根⇔方程在区间上恰有两个不相等的实根，
再令g（x）=，，通过对函数g（x）求导，得出其单调区间，并求出在区间上的值域，进而即可得出答案．
【解析】
（1）∵f′（x）=3ax2+2bx+2，又∵f（x）在x=-1，x=2处取得极值，
∴即，经验证a、b的值满足题意；
（2）方程在区间上恰有两个不相等的实数根，即方程在区间上恰有两个不相等的实根，
令g（x）=，，则g′（x）=2x2-3x+1，
令g′（x）=0解得或x=1；当x变化时，g′（x），g（x）的变化列表如下：

x 1 （1，2） 2
g′（x） - +
g（x） ↓ 极小值 ↑

要使g（x）=-t在上有两个不相等实根，则应满足，
即t的取值范围为．