Question

已知函数f（x）=4x³+3tx-6t²x+t-1，x∈R，其中，t∈R，
（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0．f（0））处的切线方程；
（2）当t≠0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）证明：对任意的t∈（0，∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

Answer

（1）当t=1时，f（x）=4x3+3x2-6x，f′（x）=12x2+6x-6，由此能求出曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（2）f′（x）=12x2+6tx-6t2，令f′（x）=0，解得x=-t，或x=．由此进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间．
（3）当t＞0时，f（x）在（0，）内的单调递减，在（）内单调递增，由此利用分类讨论思想能够证明对任意的t∈（0，∝），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
【解析】
（1）当t=1时，f（x）=4x3+3x2-6x，
f′（x）=12x2+6x-6，f′（0）=-6，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．
（2）f′（x）=12x2+6tx-6t2，
令f′（x）=0，解得x=-t，或x=．
因为t≠0，以下分两种情况讨论：
①若t＜0，则，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，） （） （-t，-∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ ↓ ↑

所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，），（-t，∞）；f（x）的单调递减区间是（）．
②若t＞0，则-t，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，-t） （-t，） （，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ ↓ ↑

所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，t），（，+∞）；
f（x）的单调递减区间是（-t，）．
综上可得：
当t＜0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，），（-t，∞）；f（x）的单调递减区间是（）．
当t＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，t），（）；f（x）的单调递减区间是（-t，）．
（3）由（2）可知，当t＞0时，f（x）在（0，）内的单调递减，在（）内单调递增，以下分两种情况讨论：
①当，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减，
f（0）=t-1＞0，
f（1）=-6t2+4t+3≤-6×4-4×2+3＜0．
所以对任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
②当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，）内的单调递减，在（，1）内单调递增，
若t∈（0，1]，f（）=＜0，
f（1）=-6t2+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3＞0，
∴f（x）在（）内存在零点，
若t∈（1，2），f（）=-＜-，
f（0）=t-1＞0，
∴f（x）在（0，）内存在零点．