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高中数学试题
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设函数. (1)当a=0时,求f(x)的极值; (2)设,在[1,+∞)上单调递...
设函数
.
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)设
,在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)当a≠0时,求f(x)的单调区间.
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=0时,f(x)=2lnx+,可求得f′(x)=,将f(x),f'(x)随x变化情况列表即可求得f(x)的极值; (2)由题意,g(x)=(2-a)lnx+2ax,在[1,+∞)上单调递增⇔g′(x)=+2a≥0在[1,+∞)上恒成立,设h(x)=2ax+2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,对a分a=0,a>0,a<0讨论即可求得答案; (3)由题意得,f′(x)=,令f'(x)=0得x1=-,x2=,对a分a>0,a<0(对a再分a<-2,a=-2,-2<a<0)讨论即可求得答案. 【解析】 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).…(1分) 当a=0时,f(x)=2lnx+, ∴f′(x)=-=,…(2分) 由f'(x)=0得x=, 于是,f(x),f'(x)随x变化如下表: x (0,) (,+∞) f(x) - + f'(x) 减函数 极小值 增函数 故,f(x)极小值=f()=2-ln2,没有极大值.…(4分) (2)由题意,g(x)=(2-a)lnx+2ax,在[1,+∞)上单调递增, ∴g′(x)=+2a≥0在[1,+∞)上恒成立, 设h(x)=2ax+2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,…(5分) 当a=0时,2≥0恒成立,符合题意.…(6分) 当a>0时,h(x)在[1,+∞)上单调递增,h(x)的最小值为h(1)=2a+2-a≥0,得a≥-2,所以a>0…(7分) 当a<0时,h(x)在[1,+∞)上单调递减,不合题意 所以a≥0…(9分) (3)由题意得,f′(x)=, 令f'(x)=0得x1=-,x2=,…(10分) 若a>0,由f'(x)≤0得x∈(0,];由f'(x)≥0得x∈[,+∞);…(11分) 若a<0,①当a<-2时,0<-<,x∈(0,-]或x∈[,+∞),f'(x)≤0;x∈[-,],f'(x)≥0, ②当a=-2时,f'(x)≤0; ③当-2<a<0时,->,x∈(0,]或x∈[-,+∞),f'(x)≤0;x∈[,-],f'(x)≥0. 综上,当a>0时,函数的单调递减区间为(0,],单调递增区间为[,+∞); 当a<-2时,函数的单调递减区间为(0,-],[,+∞),单调递增区间为[-,]; 当a=-2时,函数的单调递减区间为(0,+∞); 当-2<a<0时,函数的单调递减区间为(0,],[-,+∞),单调递增区间为[,-].…(14分)
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考点分析:
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•
-2.
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n
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n
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n
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n
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5
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7
=13.
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
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n
=a
n
•b
n
(n∈N
*
),T
n
为数列{c
n
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n
.
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已知cosα=
,cos(α-β)=
,且0<β<α<
,
(Ⅰ)求tan2α的值;
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n
}的前n项和为S
n
,已知a
3
=1,a
4
是a
3
和a
7
的等比中项,
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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