Question

已知函数，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由f（1）=1，f（-2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的
（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解
（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．
法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解
法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x-m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x-m|，结合函数的性质可求
【解析】
（1）由f（1）=1，f（-2）=4．
得
解得：（3分）
（2）由（1），
所以，
令x+1=t，t＜0，
则
=
因为x＜-1，所以t＜0，
所以，当，
所以，（8分）
即AP的最小值是，此时，
点P的坐标是．（9分）
（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，
也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．
法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，
即对x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，
①当x=1时，或m＞2，
②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，
对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，
令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t-1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，
∴，，结合0＜m＜1或m＞2，
∴m＞2
对于对x∈（1，2]恒成立，等价于
令t=x-1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，
，t∈（0，1]递减，
∴，
∴m≤4，
∴0＜m＜1或2＜m≤4，
综上：2＜m≤4（16分）
法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，
也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．
故问题转化为x|x-m|≤m对x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=x|x-m|
①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x-m）=x2-mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，
依题意g（2）≤m，，舍去；
②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，
考虑到，再分两种情形：
（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，
依题意，即m≤4，
∴2＜m≤4；
（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，
故g（2）≤m，
∴2（m-2）≤m，
∴m≤4，舍去．
综上可得，2＜m≤4（16分）