Question

设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=；
当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，3）的抛物线的一部分
（1）求函数f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（2）在下面的直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象，写出函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）根据偶函数的性质，“当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，3）的抛物线的一部分”，那么函数f（x）在（-∞，-2）上图象是顶点（-3，4）、过（-2，3）的抛物线的一部分，设顶点式即可求出解析式．
（2）画出函数图象，根据函数图象上升趋势的是单调增区间，下降趋势的是单调减区间．
【解析】
（1）因为函数是偶函数，
所以“当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，3）的抛物线的一部分”，
那么函数f（x）在（-∞，-2）上图象是顶点（-3，4）、过（-2，3）的抛物线的一部分，
设函数的解析式是f（x）=a（x-h）2+b，
则根据条件有，解得：，
所以函数f（x）在（-∞，-2）上的解析式为f（x）=-（x+3）2+4=-x2-6x-5．
（2）图象如下图所示：

所以函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-3）和（0，3），单调减区间为：（-3，0）和（3，+∞）．