Question

已知函数是奇函数（a＞0且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．

Answer

（1）由奇函数可得：f（-x）+f（x）=0，求出m的值之后，再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；
（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明．
【解析】
（1）∵已知函数是奇函数（a＞0且a≠1），
∴f（-x）+f（x）=0，
∴，即，
∴，即1-m2x2=1-x2，∴m2=1，解得m=±1．
又∵，∴m=1应舍去．
当m=-1时，f（x）=，其定义域为{x|x＜-1，或x＞1}关于原点对称，故适合．
∴m=-1．
（2）当a＞1时，f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，下面给出证明．
设1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）==
而（1+x1）（x2-1）-（x1-1）（1+x2）=2（x2-x1）＞0，及（x1-1）（1+x2）＞0，
∴，又a＞1，
∴
∴f（x1）＞f（x2）．
当0＜a＜1时，同理可证f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．