Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，点D是BC的中点．
（I）求证：A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求证：△AB₁D为直角三角形；
（Ⅲ）若三棱锥B₁-ACD的体积为，求棱BB₁的长．

Answer

（I）根据正三棱柱ABC-A1B1C1的几何特征，可得A1C1∥AC，进而由线面平行的判定定理得到A1C1∥平面AB1C；
（Ⅱ）根据正三角形三线合一及面面垂直的性质定理，可得AD⊥侧面BC1，进而由线面垂直的定义可得AD⊥B1D，即：△AB1D为直角三角形；
（Ⅲ）设棱BB1的长为X，由三棱锥B1-ACD，即三棱锥A-B1CD的体积为，构造方程可得棱BB1的长．
证明：（I）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC
又∵A1C1⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C；
∴A1C1∥平面AB1C；
（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形
∴AD⊥BC，
又∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC⊥侧面BC1，
∴AD⊥侧面BC1，
又∵B1D⊂侧面BC1，
∴AD⊥B1D
即：△AB1D为直角三角形；
【解析】
（Ⅲ）设棱BB1的长为X
则正三棱柱ABC-A1B1C1中所有棱长全为X
则=，AD=
则三棱锥B1-ACD的体积V=••AD==，
解得X=2
即棱BB1的长为2