对函数f(x)=x2e-ax,进行求导,解出函数的极值点,然后根据极值点的值判断函数的单调区间,因区间[1,2]比较大,里面不是单调的增或者间,需要讨论,然后代入求解.
【解析】
∵f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x)(2分)
令f′(x)>0,∵e-ax>0(3分)
∴-ax2+2x>0,解得0<x<(4分)
∴f(x)在(-∞,0)和(,+∞)内是减函数,在(0,)内是增函数.(6分)
①当0<<1,即a>2时,f(x)在(1,2)内是减函数.
∴在[1,2]上fmax(x)=f(1)=e-a;(8分)
②当1≤≤2,即1≤a≤2时,f(x)在(1,)内是增函数,在(,2)内是减函数.
∴在[1,2]上fmax(x)=f()=4a-2e-2;(10分)
③当>2即0<a<1时,f(x)在(1,2)是增函数.
∴在[1,2]上fmax(x)=f(2)=4e-2a.(12分)
综上所述,当0<a<1时,f(x)在[1,2]上的最大值为4e-2a;
当1≤a≤2时,f(x)在[1,2]上的最大值为4a-2e-2;
当a>2时,f(x)在[1,2]上的最大值为e-a.(13分)