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已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m使得f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0),对一切manfen5.com 满分网都成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
根据奇函数f(x)的定义域为R,可求得f(0)=0,再利用f(x)在[0,+∞)上是增函数,可将f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)化为cos2θ-mcosθ+2m-2>0,令t=cosθ构造函数 f(t),f(t)=t2-mt+2m-2,(0≤t≤1).根据其对称轴与区间[0,1]的关系可分类讨论求得m的取值范围. 【解析】 设存在实数m使得f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对一切都成立, ∵奇函数f(x)的定义域为R, ∴f(0)=0, ∴f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m)恒成立, 又∵f(x)在R上单调递增, ∴cos2θ-3>2mcosθ-4m, ∴2cos2θ-4>2mcosθ-4m, ∴cos2θ-mcosθ+2m-2>0. 设t=cosθ,由θ∈[0,]可知t∈[0,1], ∴f(t)=t2-mt+2m-2,(0≤t≤1). (1)当即m≤0时f(t)min=f(0)=2m-2>0, ∴m>1(舍)   (2)当≥1即m≥2时f(t)min=f(1)=m-1>0, ∴m≥2; (3)当0<<1,即0<m<2时,f(t)min=f()=-m2+8m-8>0, ∴4-2<m<4+2, ∴4-2<m<2. 综上所述,m>4-2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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