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在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处...

在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为   
根据题意设出点P的坐标,求出曲线方程的导函数,把点P的横坐标代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率,根据切点和斜率表示出切线的方程,分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标,由交点坐标表示出△AOB的面积S,利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值,把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值. 【解析】 根据题意设P的坐标为(t,-t3+1),且0<t<1, 求导得:y′=-3x2,故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2, 所以切线方程为:y-(-t3+1)=-3t2(x-t), 令x=0,解得:y=2t3+1;令y=0,解得:x=, 所以△AOB的面积S=(2t3+1)•=, 设y=2t2+=2t2++≥3, 当且仅当2t2=,即t3=,即t=取等号, 把t=代入得:Smin=. 故答案为:
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