Question

已知函数f（x）=log₂，g（x）=log₂（x-1）
（1）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）记函数h（x）=g（2^x+2）+kx，问：是否存在实数k使得函数h（x）为偶函数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；
（3）记函数F（x）=f（x）+g（x）+log₂（p-x），其中p＞1试求F（x）的值域．

Answer

（1）f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．利用单调性的定义，关键是作差变形；
（2）假设存在这样的k使得函数h（x）为偶函数，则h（x）-h（-x）=0恒成立，化简可得结论；
（3）先确定函数的定义域，再利用对数的运算性质，化简函数，分类讨论，确定内函数的值域，即可求得函数的值域．
【解析】
（1）f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．证明如下：
任取1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=log2
∵-1=
∵1＜x1＜x2，∴＞0
∴
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；
（2）h（x）=g（2x+2）+kx=log2（2x+1）+kx，定义域为R
假设存在这样的k使得函数h（x）为偶函数，则h（x）-h（-x）=0恒成立
即log2（2x+1）+kx-log2（2-x+1）+kx=0，化简得（1+2k）x=0
∴k=-使得函数h（x）为偶函数．
（3）首先函数F（x）的定义域是（1，p）
F（x）=log2（x+1）（p-x）=log2[-x2+（p-1）x+p]=log2[-（x-）2+]，显然＜
①当≤1，即1＜p≤3时，t=-（x-）2+在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log2（p-1），函数f（x）的值域为（-∞，log2（p-1））；
②当1＜＜，即p＞3时，t=-（x-）2+在（1，）上单调递增，在（，p）上单调递减，即0＜t≤，
∴f（x）≤2log2（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log2（p+1）-2）．
综上：当1＜p≤3时，函数f（x）的值域为（-∞，log2（p-1））；当p＞3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log2（p+1）-2）．