Question

已知函数f（x）=λ•2^x-4^x，定义域为[1，3]．
（1）若λ=6求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在区间[1，3]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）利用换元法，转化为二次函数，利用配方法可求函数f（x）的值域；
（2）求导函数，转化为f′（x）=λ2x•ln2-4x•ln4≥0在[1，3]上恒成立，即可求得结论．
【解析】
（1）设t=2x，∵x∈[1，3]，∴t∈[2，8]
∴λ=6时，y=-t2+6t=-（t-3）2+9，2≤t≤8
∴t=3，即x=log23时，y取最大值9；t=8，即x=3时，y取最小值-16，
∴函数f（x）的值域是[-16，9]；
（2）由题意，f′（x）=λ2x•ln2-4x•ln4≥0在[1，3]上恒成立，即λ≥2x+1在[1，3]上恒成立
∴λ≥16．