Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=ax³-2ax²+bx+1（a＞0）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，求a，b的值．

Answer

（1）当x＜0时，-x＞0，故f（-x）=-ax3-2ax2-bx+1，再由f（x）是定义在R上的奇函数，能求出函数y=f（x）的解析式．
（2）当x∈[2，3]时，g（x）==ax2-2ax+b=a（x-1）2+b-a，由a＞0，知g（x）在区间[2，3]上单调递增，由此能求出a，b的值．
【解析】
（1）当x＜0时，-x＞0，
故f（-x）=a（-x）3-2a（-x）2+b（-x）+1
=-ax3-2ax2-bx+1，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
故f（x）=-f（-x）=ax3+2ax2+bx-1，
所以f（x）=．
（2）当x∈[2，3]时，g（x）==ax2-2ax+b=a（x-1）2+b-a，
∵a＞0，∴g（x）在区间[2，3]上单调递增，
故，
∴，
解得a=1，b=1．