Question

已知函数f（x）=，其中a∈R．若对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，则k的取值范围是    ．

Answer

由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，得到x=0时，f（x）=k（1-a2），进而得到，关于a的方程（3-a）2=k（1-a2）有实数解，即得△≥0，解出k即可．
【解析】
由于函数f（x）=，其中a∈R，
则x=0时，f（x）=k（1-a2），
又由对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立
∴函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，
∴（3-a）2=k（1-a2）（k≠0）即（k+1）a2-6a+9-k=0有实数解，
所以△=62-4（k+1）（9-k）≥0，解得k＜0或k≥8
故答案为 （-∞，0）∪[8，+∞）．