Question

已知△ABC中，A（0，1），B（2，4）C（6，1），P为平面上任意一点，M、N分别使，，给出下列相关命题：①；②直线MN的方程为3x+10y-28=0；③直线MN必过△ABC的外心；④向量所在射线必过N点，上述四个命题中正确的是    ．（将正确的选项全填上）．

Answer

设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），由题设条件求出M（1，）．N（）．由此能够得到与不平行；直线MN的方程为3x+10y-28=0；直线MN不过△ABC的外心；向量所在射线不一定过N点．
【解析】
设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴，，，，，
∵，
∴（x1-x，y1-y）==（1-x，），
∴M（1，）．
∵，
∴（）=（8-3x，6-3y）=（，2-y），
∴N（）．
∴，
∵，=-3≠0，
∴与不平行，
故①不正确；
∵M（1，），N（），
∴直线MN的方程为，
整理，得3x+10y-28=0，
故②正确；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴，线段AB的中点（1，），kAC=0，线段AC的中点（3，1），
∴线段AB的中垂线为：y-=-，即4x+6y-19=0，
线段AC的中垂线为x=3，
解方程组，得△ABC的外心为（3，），
把（3，）代入3x+10y-28=0，不成立，
∴直线MN不过△ABC的外心，故③不正确；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴λ（）=λ[（2，3）+（6，0）]=λ（8，3）=（8λ，3λ），
∴向量所在射线不一定过N点，故④不正确．
故答案为：②．